Развертка цилиндра эллиптического, усеченного наклонной плоскостью.

Развертка цилиндра эллиптического.

Развертка представляет собой прямоугольник длиной L, равной длине эллипса, и высотой H (рис. 1). Длину эллипса можно определить графически способом, показанным на рис. 2. Аналитически полная длина эллипса может быть определена по формуле:

L = аl₁,

где

а — большая полуось;

l₁ — длина эллипса при a = 1.

Значения l₁ даны в табл. 1.

Рис. 1.

.

Таблица 1. Длина эллипса l₁ при a=1 в зависимости от b/a. 

Развертка цилиндра эллиптического, усеченного наклонной плоскостью.

Графически развертка цилиндра (рис. 3) строится следующим образом. На одной четверти горизонтальной проекции эллиптического цилиндра (эллипса) наносится определенное число точек и строятся симметричные им точки и в остальных четвертях (в данном случае эллипс разделен на 12 частей). Из точек деления проводятся вертикальные прямые до пересечения верхнего основания в точках 0Ꞌ₁, 1Ꞌ₁, …, 12Ꞌ₁. На продолжении прямой 9Ꞌ3Ꞌ начиная от точки 0° последовательно откладываются длины дуг эллипса 01, 12, …, 1112. Расстояние 0°12° равно полной длине эллипса (графическое определение длины дуги эллипса показано на рис. 2). Из точек 0°, …, 12° проводятся перпендикуляры до пересечения с горизонтальными линиями, проходящими через точки 0Ꞌ₁, …, 12Ꞌ₁ в точках 0⁰₁, …, 12⁰₁. Полученные точки соединяются плавной кривой.

Рис. 2.

Графически развертку можно построить еще таким способом. Вокруг эллипса описывается окружность радиусом, равным большой полуоси α (рис. 3). Она делится на определенное число частей, в данном случае на 12. Через точки деления проводятся вертикальные прямые до пересечения с эллипсом в точках 0, 1, …, 12, которые принимаются за точки деления эллипса. Длина дуг эллипса откладывается последовательно на выбранной прямой (в данном случае 0°12°). На расстоянии h₁ = (Н — h)/2 от прямой 0°12° проводится горизонтальная прямая. Из центра S, лежащего на прямой, описывается полуокружность радиусом А = (H — h)/2. Полуокружность делится на равные части. Число частей равно половине числу делений окружности, описанной вокруг эллипса. Через точки деления полуокружности 0ꞋꞋ 1ꞋꞋ, … проводятся горизонтальные прямые до пересечения с вертикальными, проходящими через точки 0⁰, …, 12⁰, в точках 0⁰₁, …, 12⁰₁. Полученные точки соединяются плавной кривой.

Рис. 3.

Аналитически координаты кривой развертки эллиптического цилиндра, усеченного плоскостью. можно определить, используя данные табл. 2 и 3, а также следующие зависимости:

x_k = OK = af (φ_k, b/а);

y_k = A sin kε,

где x и y — координаты точек развертки;

k — порядковый номер точки;

ОК — длина дуги эллипса от точки 0 до произвольной точки К;

а, b — большая и малая полуоси дуги эллипса;

φ_k = kε — центральный угол между соответствующими точками дуги;

ε = 360°/2n — центральный угол, соответствующий одному делению;

А = (H — h)/2 = a tg α;

2n — число равных делений окружности, описанной около эллипса.

Таблица 2. Значения функции f (φ, b/а) для вычисления длины дуги эллипса.

Продолжение таблицы 2. Значения функции f (φ, b/а) для вычисления длины дуги эллипса.

Таблица 3. Значения sin kε и sin² kε.

Данные значений sin kε и sin² kε Вы можете найти в предыдущей статье: Построение развертки цилиндра. Развертка усеченного цилиндра. Формула развертки цилиндра.