«

»

Развертка цилиндра эллиптического, усеченного наклонной плоскостью.

Развертка цилиндра эллиптического, усеченного наклонной плоскостью. 4.25/5 (85.00%) проголосовало 4

razvertka-cilindra-ellipticheskogo-usechennogo-naklonnoj-ploskostyu

Развертка цилиндра эллиптического, усеченного наклонной плоскостью.

 

Развертка цилиндра эллиптического.

 

Развертка представляет собой прямоугольник длиной L, равной длине эллипса, и высотой H (рис. 1). Длину эллипса можно определить графически способом, показанным на рис. 2. Аналитически полная длина эллипса может быть определена по формуле:

 

L = аl1,

 

где

а — большая полуось;

l1 — длина эллипса при a = 1.

Значения l1 даны в табл. 1.

razvertka-cilindra-ellipticheskogo-usechennogo-naklonnoj-ploskostyu

Рис. 1.

.

Таблица 1. Длина эллипса l1 при a=1 в зависимости от b/a. 

b/a l1 b/a l1 b/a l1 b/a l1 b/a l1
0,00 4,0000 0,20 4,2020 0,40 4,6026 0,60 5,1054 0,80 5,6723
0,01 4,0011 0,21 4,2186 0,41 4,6258 0,61 5,1324 0,81 5,7020
0,02 4,0038 0,22 4,2356 0,42 4,6492 0,62 5,1596 0,82 5,7317
0,03 4,0078 0,23 4,2531 0,43 4,6728 0,63 5,1870 0,83 5,7615
0,04 4,0131 0,24 4,2710 0,44 4,6966 0,64 5,2145 0,84 5,7915
0,05 4,0194 0,25 4,2892 0,45 4,7207 0,65 5,2421 0,85 5,8215
0,06 4,0267 0,26 4,3078 0,46 4,7450 0,66 5,2699 0,86 5,8516
0,07 4,0348 0,27 4,3268 0,47 4,7695 0,67 5,2978 0,87 5,8819
0,08 4,0438 0,28 4,3462 0,48 4,7942 0,68 5,3259 0,88 5,9122
0,09 4,0535 0,29 4,3659 0,49 4,8191 0,69 5,3541 0,89 5,9426
0,10 4,0640 0,30 4,3859 0,50 4,8442 0,70 5,3824 0,90 5,9732
0,11 4,0752 0,31 4,4062 0,51 4,8695 0,71 5,4108 0,91 6,0038
0,12 4,0870 0,32 4,4269 0,52 4,8950 0,72 5,4394 0,92 6,0345
0,13 4,0994 0,33 4,4478 0,53 4,9207 0,73 5,4681 0,93 6,0653
0,14 4,1125 0,34 4,4692 0,54 4,9466 0,74 5,4969 0,94 6,0962
0,15 4,1261 0,35 4,4908 0,55 4,9726 0,75 5,5258 0,95 6,1271
0,16 4,1403 0,36 4,5126 0,56 4,9988 0,76 5,5549 0,96 6,1582
0,17 4,1550 0,37 4,5347 0,57 5,0252 0,77 5,5841 0,97 6,1893
0,18 4,1702 0,38 4,5571 0,58 5,0518 0,78 5,6134 0,98 6,2205
0,19 4,1859 0,39 4,5797 0,59 5,0785 0,79 5,6428 0,99 6,2518

 

Развертка цилиндра эллиптического, усеченного наклонной плоскостью.

 

Графически развертка цилиндра (рис. 3) строится следующим образом. На одной четверти горизонтальной проекции эллиптического цилиндра (эллипса) наносится определенное число точек и строятся симметричные им точки и в остальных четвертях (в данном случае эллипс разделен на 12 частей). Из точек деления проводятся вертикальные прямые до пересечения верхнего основания в точках 0Ꞌ1, 1Ꞌ1, …, 12Ꞌ1. На продолжении прямой 9Ꞌ3Ꞌ начиная от точки 0° последовательно откладываются длины дуг эллипса 01, 12, …, 1112. Расстояние 0°12° равно полной длине эллипса (графическое определение длины дуги эллипса показано на рис. 2). Из точек 0°, …, 12° проводятся перпендикуляры до пересечения с горизонтальными линиями, проходящими через точки 0Ꞌ1, …, 12Ꞌ1 в точках 001, …, 1201. Полученные точки соединяются плавной кривой.

razvertka-cilindra-ellipticheskogo-usechennogo-naklonnoj-ploskostyu

Рис. 2.

 

Графически развертку можно построить еще таким способом. Вокруг эллипса описывается окружность радиусом, равным большой полуоси α (рис. 3). Она делится на определенное число частей, в данном случае на 12. Через точки деления проводятся вертикальные прямые до пересечения с эллипсом в точках 0, 1, …, 12, которые принимаются за точки деления эллипса. Длина дуг эллипса откладывается последовательно на выбранной прямой (в данном случае 0°12°). На расстоянии h1 = (Н — h)/2 от прямой 0°12° проводится горизонтальная прямая. Из центра S, лежащего на прямой, описывается полуокружность радиусом А = (H — h)/2. Полуокружность делится на равные части. Число частей равно половине числу делений окружности, описанной вокруг эллипса. Через точки деления полуокружности 0ꞋꞋ 1ꞋꞋ, … проводятся горизонтальные прямые до пересечения с вертикальными, проходящими через точки 00, …, 120, в точках 001, …, 1201. Полученные точки соединяются плавной кривой.

razvertka-cilindra-ellipticheskogo-usechennogo-naklonnoj-ploskostyu

Рис. 3.

 

Аналитически координаты кривой развертки эллиптического цилиндра, усеченного плоскостью. можно определить, используя данные табл. 2 и 3, а также следующие зависимости:

 

xk = OK = af (φk, b/а);

 

yk = A sin kε,

 

где x и y — координаты точек развертки;

k — порядковый номер точки;

ОК — длина дуги эллипса от точки 0 до произвольной точки К;

а, b — большая и малая полуоси дуги эллипса;

φk = kε — центральный угол между соответствующими точками дуги;

ε = 360°/2n — центральный угол, соответствующий одному делению;

А = (H — h)/2 = a tg α;

2n — число равных делений окружности, описанной около эллипса.

 

Таблица 2. Значения функции f (φ, b/а) для вычисления длины дуги эллипса.

Число частей эллипса при 2n ϕ b/a
12 24 48 0,20 0,24 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55
1 7,5° 0,13054 0,13054 0,13055 0,13057 0,13058 0,13060 0,13062 0,13063
1 2 15° 0,25894 0,25900 0,25918 0,25930 0,25943 0,25943 0,25957 0,25973
3 22,5° 0,38308 0,38331 0,38361 0,38400 0,38430 0,38474 0,38527 0,38575
1 2 4 30° 0,50098 0,50154 0,50221 0,50300 0,50392 0,50494 0,50609 0,50735
5 37,5° 0,61069 0,61180 0,61313 0,61469 0,61650 0,61853 0,62083 0,62325
3 6 45° 0,71057 0,71298 0,71486 0,71761 0,72077 0,72431 0,72822 0,73250
7 52,5° 0,79902 0,80216 0,80601 0,81048 0,81558 0,82122 0,82754 0,83440
2 4 8 60° 0,87492 0,87983 0,88573 0,89259 0,90036 0,90897 0,91839 0,92857
9 67,5° 0,93736 0,94481 0,95378 0,96360 0,97491 0,98786 1,00085 1,01531
5 10 75° 0,98626 0,99704 1,00973 1,02411 1,04003 1,05782 1,07586 1,09550
11 82,5° 1,02261 1,03818 1,05659 1,07643 1,09751 1,12060 1,14504 1,17068
3 6 12 90° 1,05050 1,07227 1,09648 1,11483 1,15066 1,18016 1,21106 1,24310

 

Продолжение таблицы 2. Значения функции f (φ, b/а) для вычисления длины дуги эллипса.

Число частей эллипса при 2n ϕ b/a
12 24 48 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95
1 7,5° 0,13066 0,14068 0,13071 0,13073 0,13076 0,13079 0,13083 0,13087
1 2 15° 0,25990 0,26009 0,26029 0,26050 0,26073 0,26097 0,26124 0,26150
3 22,5° 0,38684 0,38698 0,38764 0,38836 0,38914 0,38996 0,39083 0,39173
1 2 4 30° 0,50873 0,51022 0,51181 0,51352 0,51533 0,51725 0,51926 0,52138
5 37,5° 0,62594 0,62883 0,63193 0,63532 0,63872 0,64239 0,64625 0,65029
3 6 45° 0,73714 0,74211 0,74741 0,75302 0,75894 0,76512 0,77163 0,77839
7 52,5° 0,84168 0,84952 0,85782 0,86658 0,87575 0,88534 0,88530 0,90545
2 4 8 60° 0,93946 0,95100 0,96317 0,97592 0,98922 1,00302 1,01731 1,03204
9 67,5° 1,03066 1,04608 1,06372 1,08132 1,09956 1,11839 1,13780 1,14771
5 10 75° 1,11618 1,13777 1,16021 1,18310 1,20732 1,23189 1,52705 1,28276
11 82,5° 1,19740 1,22510 1,25268 1,28401 1,31319 1,34398 1,37540 1,40738
3 6 12 90° 1,27636 1,31052 1,34559 1,38147 1,41808 1,45537 1,49329

1,53278


Таблица 3. Значения sin
kε и sin2 kε.

Данные значений sin kε и sin2 kε Вы можете найти в предыдущей статье: Построение развертки цилиндра. Развертка усеченного цилиндра. Формула развертки цилиндра.

 

1 комментарий

  1. makar

    Очень полезная статья. Те кто знает тот поймет. Если все правильно разобрать то можно все правильно сделать.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>


6 + 6 =